Modèles de valorisation d’options exotiques – Réflexions en temps discret et en temps continu

Président du jury
Rapporteurs	Mondher BELLALAH, Professeur à l’Université du Maine François QUITTARD-PINON, Professeur à l’Université de Lyon 1
Suffragant	Monique JEANBLANC-PICQUE, Professeur à l’Université d’Evry

Mention Honorable

Résumé :
Malgré sa plus grande complexité, la valorisation des options exotiques suit le même principe que celui des options traditionnelles, à savoir qu’une classe très large d’approximation et de diffusion de processus en vue de la valorisation d’actifs contingents s’obtient à partir d’un même formalisme.
En temps continu, lorsque l’option est européenne, les praticiens aboutissent parfois à des formules paramétriques et non paramétriques sous forme analytique avec des hypothèses de départ différentes, le dénominateur commun à toutes ces méthodes est qu’elles supposent la positivité de la loi de densité de distribution des rendements des actifs sous-jacents, ensuite grâce aux théorèmes de changement de probabilité, la valorisation se ramène aux calculs de lois de densité au sein d’une marche aléatoire gaussienne associée à une diffusion risque neutre. Par contre, lorsque l’option est américaine, il n’existe pas de solution analytique et les praticiens utilisent souvent des techniques d’interpolations et d’approximation par des options obtenues par des convolutions le long de la frontière d’exercice optimale.
En temps discret, les méthodes de valorisation avec maillage (deux ou trois points d’appui) ou sans maillage (méthode des plus proches voisins) sont fondées sur des simulations numériques formulées en termes ‘équations aux dérivées partielles stochastiques ou sous forme variationnelle intégrale, nécessitant une discrétisation nodale du domaine et une génération du nuage de points recouvrant le domaine dans le sens d’une répartition de densité de points, tenant compte à la fois de la géométrie du domaine et des informations réelles liées à la nature des équations de diffusion. De ce fait, la méthode discrète semble plus générale et permet de valoriser une classe importante d’options américaines ainsi que de nombreuses options exotiques plus complexes sur un ou plusieurs actifs sous-jacents. 
Mots clés : Discret – Trinomial – Exotique – Valorisation – Barrière – Densité-Risque neutre – Diffusion